Les grandes découvertes du 16 ème au 19 ème siècle

Les grandes découvertes du 16 ème au 19 ème siècle

Jusqu'au 15ème siècle, les années passèrent sans qu'il y ait de grandes découvertes mathématiques. Toutefois, pendant ce temps, le savoir des grecs est précieusement gardé par la civilisation Arabe. Ceux-ci ont découvert, grâce à leurs voyages le système de numérotation Hindous qu'ils utilisent et répandent autour d'eux.

Ce système est celui que l'on utilise encore pour écrire les nombres : la numération décimale de position. Il a été inventé entre le 3ème et le 5ème siècle en Inde. Les Indiens comptaient à l'aide de neuf caractères. Ils étaient les premiers à utiliser le zéro en tant que nombre et pas seulement comme indicateur de place vide dans l'écriture d'un nombre.

A partir du 14ème siècle, l'usage des chiffres indo-arabes est largement répandu en Occident.

  • La Renaissance :

    Au 15ème, 16ème siècle, les mathématiques renaissent grâce aux premiers travaux des Italiens notamment dans leurs études géométriques : ils découvrent les lois de la perspective. Cette découverte est particulièrement visible à travers les tableaux des peintres de l'époque.

    L'algèbre connaît une grande évolution à cette époque. Alors que les Babyloniens arrivaient à résoudre des équations de degrés inférieurs ou égaux à 2, les Italiens Targaglia ( 1499-1557 ) et Cardan ( 1501-1576 ) parviennent à résoudre celles du 3ème degré.

    A la fin du 16 ème siècle, Ferrari (1522 - 1565) résout celles du celles du 4ème degré mais les calculs sont très longs et très compliqués.

    Ce sont donc les Italiens qui ont ouvert la voie aux véritables progrès mathématiques jusqu'à nos jours.

  • Algébrisation de la Géométrie

    Le savant le plus important du début du 17ème siècle fut le Français René Descartes(1596-1650).

    Il expose un nouveau point de vue conciliant algèbre et géométrie. Au lieu de raisonner sur les figures, il traduit ces figures par des équations que l’on cherche ensuite à résoudre. C’est l’invention de la géométrie analytique.

    A cette époque, le but des scientifiques est de comprendre la nature : quel est le mouvement des étoiles, qu’est-ce que la lumière, quelle forme a la Terre… Les mathématiciens tentent de répondre à ces questions par l’observation et par l’invention de nouvelles techniques de calcul.

    Au milieu du 17ème siècle, un ensemble de signes uniques est inventé, il allait constituer l’algèbre symbolique moderne.







  • Les nombres Transcendants

    Au 17ème siècle, on commence à faire la différence entre les nombres algébriques ( qui sont les racines de polynômes à coefficients entiers) et les autres irrationnels qualifiés de transcendants.

    Il faut attendre le 18ème siècle pour voir les premiers résultats démontrés :

    • 1737 : Euler ( 1707-1783 ) démontre l’irrationalité de e et conjecture la transcendance de pi.
    • 1795 : Legendre démontre qu’un nombre peut être construit à l’aide d’une règle et d’un compas si et seulement si il peut être définit à l’aide d’opérations élémentaires (+, -, x, /) et de racines carrées.
    • 1844 : Liouville fabrique les premiers nombres transcendants (par exemple : 1/10 + 1/102 !+…+1/10n).
    • 1873 : Hermite démontre la transcendance de e.
    • 1882 : Lindemann démontre que pi est transcendant.
  • Les imaginaires :

    Même s’ils sont qualifiés de nombres impossibles, les racines carrées de nombres négatifs seront utilisées au cours du 17ème siècle par les mathématiciens. Le confiance des mathématiciens en ces nombre allait en croissant car ils permettaient d’obtenir des résultats cohérents.

    Des 1629, Albert de Girard ( 1595-1633 ) affirmait que toute équation de degré n avait exactement n racines à condition de compter ces racines impossibles.

    Ce théorème fondamental ne sera démontré complètement qu’à la fin du 18ème siècle après les travaux de d’Alembert ( 1717-1783) et de Gauss ( 1777-1855).

    D'Alembert : -- Gauss:

    En 1637, Descartes introduit pour la première fois le terme imaginaire : « Au reste tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles mais quelques fois seulement imaginaires, … » .

    Les imaginaires seront ensuite utilisés dans la géométrie. D’abord écrit « racine de –1 », le nombre i est introduit en 1777 par Euler et sera adoptée quand Gauss la reprendra.

    Avant cela, en 1748, Euler donne les fameuses formules éponymes reliant la trigonométrie et les exponentielles. e ix = cos x +i sin x.

    A la fin du 18ème siècle, les imaginaires sont d’usage courant mais la question de leur nature n’est toujours résolue.

  • Définition arithmétique des nombres complexes

    En 1835, William Hamilton ( 1805-1865 ) définit les nombres complexes et leurs opérations à partir des propriétés des nombres réels.

    Il considère les nombres complexes comme des couples de nombres réels et définit la somme et le produit de ces couples par :

    (a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’)

    et (a, b) x (a’, b’) = (a x a’ – b x b’, a x b’ + b x a’)

    On a alors que : (a , b) = (a , 0) + (0 , b) = (a , 0) x (0 , 1) + (b , 0) x (0 , 1)

    Le couple (a , 0) est identifié à un réel , le couple ( 0 , b) est imaginaire pur. En remarquant que (0 , 1)2 = (-1 , 0), on peut identifier (a , b) à a + bi.

  • La théorie de l’attraction universelle

    A la fin 17ème siècle, Isaac Newton ( 1645-1727 ) conçoit la théorie de l’attraction universelle qui explique a rotation de la Terre et des planètes autour du soleil et la chute des corps. Il invente aussi le calcul différentiel.

    Ainsi, on a pu apprendre à prédire les éclipses de lune ou bien encore l’heure des marrées. Halley a ainsi pu calculer que la comète du même nom réapparaîtrait 1758,76 ans après son observation en 1682.

    La science de la lumière a aussi beaucoup évolué grâce à Newton. A la fin du 18ème siècle, les mathématiques sont devenues indispensables à la mécanique, à l’optiques et aussi à l’électricité. Les scientifiques sont alors très optimistes : ils pensent que les mathématiques sont capables de résoudre tous les problèmes du monde qui nous entoure.

    Cette époque est celle du début de la révolution industrielle. Les mathématiques ont eu un rôle primordial dans l’évolution des techniques de l’époque. Cette révolution du début du 19ème siècle permet à l’Europe de passer de l’agriculture à l’industrie. Les ingénieurs conçoivent et construisent alors des mines, des usines, des routes, des chemins de fer, des navires…

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07/01/2010 0 Poster un commentaire

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